Ecriture d'un naturel

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1. Notions[modifier]

Un entier naturel est un nombre positif permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents: un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).

Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie.

La définition originelle, due à Richard Dedekind, de l'ensemble des entiers naturels ne comprend pas le nombre zéro; plus récemment une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc :

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; … ou

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; … L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée « arithmétique ».

Système de numération[modifier]

On utilise les "systèmes de numération" pour compter des objets et de les représenter par des nombres. Trois notions interviennent dans un système:

  • la base B du système, c'est un nombre entier quelconque.
  • Les digits du système sont des caractères tous différents et représentent chacun un élément de la base; il y en a donc B au total
  • Poids du digit selon son rang

2. Exprimer un entier en base b[modifier]

Ecriture d'un nombre A dans la base B: (A)B= a3a2a1a0 (4 chiffres) ai < B (pour tout i) (A)B= a0B0+a1B1+ a2B2+ a3B3;
Poids ai= Bi

1. système décimal[modifier]

Dans la base 10 "système décimal ", il y a dix digits: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9 appelés chiffres Exemple: (1234)10= 4x100+3x101+2x102+1x103
=4+30+200+1000
B=10;
Poids:
du premier digit est 100=1 (Unité)
du deuxième digit est 101=10 (Dizaine)
du troisième digit est 102=100 (Centaine)
du quatrième digit est 103=1000 (Milliers)

2. Système Binaire[modifier]

Dans ce système, la base B vaut 2, et il y a donc 2 digits 0 et 1 appelés dans ce cas " BIT" (Binary digIT). Par exemple, le nombre 1011 exprimé en binaire signifie: (1011)2 = 1x20+ 1x21+ 0x22+ 1x23
=1 + 2 + 8
=(11)10

3. Système octal[modifier]

Dans ce système, la base vaut 8 et il y a 8 digits: 0,1,2,3,4,5,6 et 7. Il n'y a pas de chiffres 8 et 9.

Par exemple: le nombre 275 exprimé en octal: (275)8 = 5x80+ 7x81+ 2x82
= 5 + 56 + 128
= (189)10

4. Système hexadécimal[modifier]

Dans ce système, la base B vaut 16 et il y a 16 digits: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E et F. Les dix premiers digits de 0 à 9 sont les chiffres du système décimal et les digits de 10 à 15 sont les premières lettres majuscules de l'alphabet.

Exemple, le nombre BAC exprimé en hexadécimal : (BAC)16 = Cx160+Ax161+ Bx162
=12 + 10x16 +11x256
=12 + 160 + 2816
=(2988)10

(3F9)16 =9x160+ 15x161 + 3x162
=9 + 240 + 768

=1017